Finite Mathematik Beispiele

$2 x - 7 y = 24$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y = 24 - 2 x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = 24 - 2 x$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = 24 - 2 x$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{24}{- 7} + \frac{- 2 x}{- 7}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{24}{- 7} + \frac{- 2 x}{- 7}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{24}{- 7} + \frac{- 2 x}{- 7}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{24}{7} + \frac{- 2 x}{- 7}$

Schritt 2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{24}{7} + \frac{2 y}{7}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{24}{7} + \frac{2 y}{7} = x$ um.

$- \frac{24}{7} + \frac{2 y}{7} = x$

Schritt 4.2

Addiere $\frac{24}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 y}{7} = x + \frac{24}{7}$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{2 y}{7} = \frac{7}{2} (x + \frac{24}{7})$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $\frac{7}{2} \cdot \frac{2 y}{7}$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{2 y}{7} = \frac{7}{2} (x + \frac{24}{7})$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{7}{2} (x + \frac{24}{7})$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{7}{2} (x + \frac{24}{7})$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{7}{2} (x + \frac{24}{7})$

Schritt 4.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7}{2} (x + \frac{24}{7})$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $\frac{7}{2} (x + \frac{24}{7})$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{7}{2} x + \frac{7}{2} \cdot \frac{24}{7}$

Schritt 4.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{24}{7}$

Schritt 4.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{24}{7}$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 24$

Schritt 4.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (12))$

Schritt 4.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 12)$

Schritt 4.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7 x}{2} + 12$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2} + 12$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2} + 12$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{7 (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7})}{2} + 12$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{7 (\frac{- 24 + 2 x}{7})}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.1.2

Stelle $- 24$ und $2 x$ um.

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{7 (\frac{2 x - 24}{7})}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 24$ heraus.

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Schritt 6.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{7 (\frac{2 (x) - 24}{7})}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{7 (\frac{2 x + 2 \cdot - 12}{7})}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 12$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{7 (\frac{2 (x - 12)}{7})}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{2 (x - 12)}{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{\frac{7 (2 (x - 12))}{7}}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{\frac{14 (x - 12)}{7}}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{14 (x - 12)}{7}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.4.1.1

Faktorisiere $7$ aus $14 (x - 12)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{\frac{7 (2 (x - 12))}{7}}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.4.1.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{\frac{7 (2 (x - 12))}{7 (1)}}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{\frac{7 (2 (x - 12))}{7 \cdot 1}}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{\frac{2 (x - 12)}{1}}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.4.2

Dividiere $2 (x - 12)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{2 (x - 12)}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = \frac{2 (x - 12)}{2} + 12$

Schritt 6.2.3.5.2

Dividiere $x - 12$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = x - 12 + 12$

Schritt 6.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 12 + 12$ .

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Schritt 6.2.4.1

Addiere $- 12$ und $12$ .

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = x + 0$

Schritt 6.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (\frac{7 x}{2} + 12)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7 x}{2} + 12) = - \frac{24}{7} + \frac{2 (\frac{7 x}{2} + 12)}{7}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7 x}{2} + 12) = \frac{- 24 + 2 (\frac{7 x}{2} + 12)}{7}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x}{2} + 12) = \frac{- 24 + 2 (\frac{7 x}{2}) + 2 \cdot 12}{7}$

Schritt 6.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{2} + 12) = \frac{- 24 + 2 (\frac{7 x}{2}) + 2 \cdot 12}{7}$

Schritt 6.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{2} + 12) = \frac{- 24 + 7 x + 2 \cdot 12}{7}$

Schritt 6.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f (\frac{7 x}{2} + 12) = \frac{- 24 + 7 x + 24}{7}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 24 + 7 x + 24$ .

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Schritt 6.3.5.1.1

Addiere $- 24$ und $24$ .

$f (\frac{7 x}{2} + 12) = \frac{7 x + 0}{7}$

Schritt 6.3.5.1.2

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f (\frac{7 x}{2} + 12) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 6.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{2} + 12) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 6.3.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{7 x}{2} + 12) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2} + 12$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{24}{7} + \frac{2 x}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2} + 12$